Apuntes_Modulo3pdf
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  1. `M • A • D2MÓDULO 3ANÁLISIS COGNITIVOMaría José González y Pedro GómezUna vez realizado el análisis de contenido, en el que el foco de atención es el tema matemáticoque se va a enseñar, pasamos a realizar otro análisis en el que el foco de atención es el aprendiza-je del estudiante. En MADhemos asumido una visión funcional de las matemáticas escolares. Bajo esta perspectiva, se pone el foco de atención en la utilidadde los conceptos matemáticos para resolver problemas reales en distintas situaciones. El estudiante necesita tener un conoci-miento teórico y un dominio técnico, pero además debe ser capaz de poner en juego y aplicar esos conocimientos y técnicas para resolver problemas en una variedad de situaciones.Para ello, es necesario que desarrolle estrategias cognitivas propias, que maneje distintas representaciones de las nociones matemáticas, que sea capaz de decidir por sí mismo la estrategia a seguir, que puedaargumentar sus decisiones y que comunique sus procesos de pensamiento con fluidez. La consideración funcional de las matemáticas es, por tanto, coherente con una posición constructi-vista del aprendizaje de los escolares. Esta consideración del aprendizajepuede concretarse en distintas metodologías de enseñanza que se analizarán en los módulos siguientes de MAD. Centrándonos en el nivel de planificación del profesor, el análisis cognitivo sirve para con-cretar, sobre un tema de matemáticas, las visiones del profesor sobre las matemáticas y el apren-dizaje. Se trata de hacer una descripción de las expectativas del profesor sobre lo que se espera que el alumno aprenda sobre el contenido matemático en cuestión y sobre sus previsiones acerca del modo en que el alumno va a desarrollar ese aprendizaje.Esta es una problemática muy com-pleja que puede enfocarse desdemuchos puntos de vista. Aquí haremos una aproximación con-creta que pretende dar respuesta a las siguientes cuestiones:1.establecer las expectativas de aprendizaje que se desean desarrollar en el tema matemático: determinar a qué competenciasse quiere contribuir, seleccionar los objetivosde aprendizaje
  2. Apuntes módulo 32que se pretenden desarrollar e identificar qué capacidadesde los estudiantes se ponen en jue-go;2.determinar las limitaciones al aprendizaje que surgen en el tema matemático: qué dificultadesy erroresvan a surgir en el proceso de aprendizaje;3.expresar hipótesis sobre cómo se puede desarrollar el aprendizaje al abordar tareas matemáti-cas: especificar, mediante caminos de aprendizaje, conjeturas sobre el proceso que seguirán los alumnos al resolver tareas matemáticas.Pasamos a describir en las secciones 1, 2 y 3 siguientes los organizadores del currículo que ver-tebran el análisis cognitivoy que acabamos de mencionar: expectativas de aprendizaje (compe-tencias, objetivos y capacidades), caminos de aprendizaje, y errores y dificultades. En dicha des-cripción,establecemos relaciones entre las expectativas de aprendizaje que nosotros utilizamos y las que aparecen en los documentos institucionales colombianos (MEN, 1998ay MEN, 2006). Por otro lado, si bien el análisis cognitivo se centra fundamentalmente en aspectos relacio-nados con el conocimiento, su propósito es contribuir a mejorar el rendimiento de los estudian-tes. Distintas investigaciones apuntan a que el origen del bajo rendimiento de los estudiantes enmatemáticas no solo se explicadesde una dimensión puramente cognitiva (falta de conocimien-tos). También intervienen otros factores afectivos comolamotivación o la ansiedad ante las ma-temáticas. De hecho, ambas facetas parecen estar directamente relacionadas, aunque queda mu-cho camino por recorrer para poder establecer correlaciones claras y útiles entre ellas.En este módulo, tenemos en cuentaalgunos elementosafectivos:en la sección 4 hacemos una breve in-troducción sobre el dominio afectivo.Posteriormente, en la sección 5, presentamos algunas ideas sobre la influencia del dominio afectivo enlos organizadores del currículo del análisis cognitivo. Finalmente, en la sección 6indicamos un proceso para realizar el análisis cognitivode un tema de matemáticas escolares. Este proceso se implementará mediante las actividades del módulo.1.EXPECTATIVAS DE APRENDIZAJE:COMPETENCIAS,OBJETIVOSYCAPACIDADESLas competencias, los objetivosy las capacidadesexpresan tres niveles distintos de concreción de las expectativas del profesor sobre el aprendizaje del estudiante.Es importante aclarar, antes de nada, que en cada documento curricular y en cada contexto pueden variar notablemente los significados que se atribuyen a estos términos o pueden usarse otros términos equivalentes. Pero lo importante, y es uno de los propósitos de este módulo, es distinguir tres niveles de expectati-vas de aprendizaje que, por sencillez, identificaremos con el nombre antes referido, aunque con la clara la intención de que cada profesor pueda llegar a “traducir” estos nombres al lenguaje que se use en su contexto.A continuación, trataremos de caracterizar estos tres niveles de expectati-vas, concretando el significado que daremos a estos términos en el contexto de MAD,y haremos referencia a los correspondientes términos que hemos identificado en los documentos institucio-nales colombianos (Ministerio de Educación Nacional (MEN), 1998a; MEN, 1998b; MEN, 2006).
  3. Apuntes módulo 331.1Competencias y procesos generalesUna competenciaes una meta a alcanzar tras un proceso de largo recorrido, por ejemplo, al tér-mino de la etapa educativa obligatoria o al finalizar la formación universitaria. Las competenciassuelen referirse a procesos generalesque se desarrollan a partir de los distintos contenidos del currículo, de forma transversal a todos ellos. En los documentos educativos recientes que nos son más familiares (OCDE, 2004; MEN, 2006; Ministerio de Educación y Ciencia, 2007) encontra-mos referentes a una idea general de competencia que se concreta en un listado de competencias básicas, también llamadas generales, una de las cuales es la competencia matemática.El documento de Estándares básicos de competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas (MEN, 2006) caracteriza la idea de competencia general de la siguiente manera:La noción de competencia... es entendida como saber hacer en situaciones concretas que requierenla aplicación creativa, flexible y responsable de conocimientos, habilida-des y actitudes... las competencias son transversales a las áreas del currículo y del co-nocimiento. Aunque generalmente se desarrollan a través del trabajo concreto en una o más áreas,se espera que sean transferidas a distintos ámbitos de la vida académica, social o laboral.(p. 12)Más adelante, en la sección dedicada a la competencia matemática, reelabora de nuevo la idea de competencia generalcomo conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socio afectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relati-vamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aque-llas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. (p. 49)Después, omite la caracterización de la competencia matemática en sí, pero pasa a describir lo que significa ser matemáticamente competente, y lo hace mediante referencias a los procesos ge-nerales de la actividad matemática descritos en el documento Lineamientos curriculares en ma-temáticas(MEN, 1998a):Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas re-presentaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista.Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera flexible y eficaz.El documento de Estándares básicos de competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciu-dadanas indica explícitamente (pp. 50-51) que estos cuatro enunciados son equivalentes a los
  4. Apuntes módulo 34procesos generales1del documento de Lineamientos curriculares en matemáticas(MEN, 1998a). Por ello, nosotros también los consideraremos equivalentes y,en este documento,haremos refe-rencia a estos cuatro enunciados refiriéndonos a ellos como procesos generales.La idea de competencia matemática se reinterpreta de muy diversas formas en los distintos documentos que estamos manejando. Incluso pueden aparecer distintos enfoques dentro de un mismo marco de referencia. Por ejemplo, Rico (2005, p. 14) ha identificado distintos usos de este término en el Proyecto PISA:La noción de competencia es central en el estudio PISA y desempeña diferentes funcio-nes:• Expresa una finalidad prioritaria en la enseñanza de las matemáticas.• Expresa un conjunto de procesos cognitivos que caracterizan un esquema pragmático de entender el hacer matemáticas.• Concreta variables de tarea para los ítems en la evaluación; destacapor los grados de complejidad.• Marca niveles de dominio al movilizar las capacidades para resolver tareas matemá-ticas.En dicho proyecto, el listado de competencias matemáticas que se propone es el siguiente(OCDE, 2004, p. 40):♦Pensar y razonar♦Argumentar♦Comunicar♦Modelar♦Plantear y resolver problemas♦Representar♦Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones♦Usar herramientas y recursosEstos enunciados nos recuerdan a los procesos generalestratados antes. Por ello, en este módulo, consideraremos que el nivel de expectativas de aprendizaje que captan las competencias matemá-ticas PISA es equivalente al que describen los procesos generales de los documentos colombia-nos.El nivel de planificación para el aula que realiza el profesor sobre un contenido matemático necesita una elevada concreción que parece alejada de la idea de competencia —transversal y de largo alcance—. Pero es imprescindible que, a la hora de realizar esta planificación para el aula, el profesor tenga en cuenta la contribución de dicha planificación a las competencias establecidas para la etapa. En este sentido, hay que tener en cuenta las competencias en todos los sentidos, 1Procesos generales en los Lineamientos: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar; y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos.
  5. Apuntes módulo 35desde la selección de tareas a la evaluación, pasando por la metodología. Más adelante se concre-tará esta idea.Además, vamos a introducir otros dos niveles de expectativas que sí están vinculados a los contenidos disciplinares y, por tanto, nos permiten reflexionar más de cerca sobre la planifica-ción diaria. Continuamos, por tanto, describiendo dichos niveles y más adelante retomaremos la relación entre ellos y las competencias.1.2Objetivos de aprendizajeCaracterizamos un objetivo de aprendizajepor:♦estar vinculado a un nivel educativo concreto;♦estar asociado a un contenido matemático concreto; y♦expresar una expectativa de aprendizaje que no puede reducirse a la realización de un procedimiento matemático rutinario, sino que tiene que involucrar conexiones entre los conceptos y procedimientos involucrados en la estructura matemática, los sistemasde re-presentación en que se representa y los fenómenos que organiza.Por ejemplo, dos objetivos correspondientes a una unidad didáctica sobre el tema Función cua-drática para un nivel de 16 años podrían serlos siguientes:1.Reconocer y usar el significado gráfico de los parámetros en las formas simbólicas de la fun-ción cuadrática y comunicar y justificar el resultado de su uso.2.Interpretar fenómenos de movimiento rectilíneo acelerado mediante la función cuadrática.Estos objetivos hacen referencia a las relaciones que se dan entre los distintos sistemas de repre-sentación de la función cuadrática y a uno de los fenómenos organizados por esta noción.Pero, frasessintéticas como estasno expresansuficiente información sobre♦qué tareas matemáticas sabe resolverun estudiante que ha desarrollado el objetivo y♦qué tareas matemáticas ha de resolver el estudiante durante el proceso de instrucción para desarrollar el objetivo.Por ello, el alcance de un objetivo se concreta cuando le asociamos conjuntos de tareas matemá-ticas. Así, elprofesor puede asociar al objetivo elconjunto de tareas que, desde su punto de vista, sirven para demostrarque quien resuelve esas tareas ha conseguido desarrollar el objetivo. Por ejemplo, el profesor puede considerar que un estudianteha desarrollado el objetivo 1 que hemos enunciado para la función cuadrática si resuelve el conjunto de tareas siguiente (Gómez,Mesa,Carulla, Gómez y Valero,1998, pp. 20-21).La clase se ha organizado en grupos de cuatro estudiantes. Tu grupo debe llenar las casillas de la tabla 1 siguiente. La información gráfica que aparece en la primera columna es orientativa y no es posible utilizar las coordenadas de los puntos para resolver el problema. Cuando todos los grupos hayan terminado, cada grupo presentará y justificará los resultados de una de las filas. Se espera que cada grupo comente y critique el trabajo de los otros grupos.
  6. Apuntes módulo 36Tabla 1Un conjunto de tareas asociadas al objetivo 1 de la función cuadráticaGráficaExpresión sim-bólicaVérticeEje de simetríaFocoDirectrizAcción con re-lación ay = x2RaícesCorte con el eje yy=x2€(0,0)€x=0€(0,14)€y=−14Ninguna0, dobley = 0€(0,94)€y=74Traslación en y de dos unidades hacia arribay=x2−1y=−54Traslación en x de una unidad hacia la dere-chaOtro conjunto de tareas asociado al objetivo, normalmente distintodel anterior, lo conforman las tareas para el aula que el profesor considera que contribuyen a que el estudiante desarrolle el ob-jetivo durante el periodo de instrucción establecido. Uno de los propósitos del módulo de análisis cognitivoes disponer de un procedimiento para determinar, de forma argumentada, cuál es este conjunto de tareas. Abordaremos este propósito en la sección 2, aunque es importante señalar que este procedimiento considera sólo una de las dimensiones del aprendizaje: la que estamos llamando cognitiva y que afecta a la previsión en que los estudiantes resuelven tareas matemáti-cas. Posteriormente, en el análisis de instrucción, se introducirán otras dimensiones (tipos de ta-reas, gestión de la clase,agrupamiento, significatividad, interacción,etc.) que permitirán deter-minar el conjunto de tareas definitivo que el profesor selecciona para llevar a cabo la instrucción.yxyxxyyx
  7. Apuntes módulo 371.3Relación entre objetivos, estándares de competencia y procesos generalesAl buscarvínculos entre la noción de objetivo que acabamos de introducir y las que se manejan en los documentos oficiales colombianos, encontramos ciertas similitudes entre ellos, aunque también algunas diferencias. La idea de estándar en MEN(2006)es muy compleja, integradora de muchas aproximaciones diferentes y con posibilidad de interpretarse desde las distintas di-mensiones y niveles del currículo:...los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas se distribuyen según los ti-pos de pensamiento y sus sistemas, pero involucran también los procesos generales, reflejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidos del área”, o sea, los conceptos y procedimientos de las matemáticas, y se refieren a los contextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competencia seleccionados como estándares para cada conjunto de grados. (MEN, 2006, p. 71)Por ello, analizaremos a continuación las similitudes y las diferencias que percibimos entrees-tándares, objetivos y procesos. A partir de este análisis, podremos utilizar unos para relacionarlos con los otros, de forma que sean útiles al propósito de planificación que pretendemos.Niveles EducativosLos estándares se distribuyen por niveles educativos (concretamente, en cinco conjuntos de gra-dos—primero a tercero,cuarto a quinto, sexto a séptimo, octavo a noveno y décimo a decimo-primero—). La decisión de agrupar parejas de grados se sustenta en una visión flexible de la dis-tribución de tareas en el tiempo escolar y de una concepción del desarrollo de competencias gradual y progresivo, no necesariamente delimitado en el tiempo. En el caso de los objetivos,se exige una mayor concreción, ya que los asociamos a un único curso y se refieren a una unidad temporal concreta y relativamente breve. Pero también es claro queel enunciado de un objetivo, en sí mismo, no tiene porqué informar sobre el nivel educativo para el que se propone; más bien,ocurre que,al especificar el nivel educativo para el que se establece un objetivo,aportamos in-formación adicional sobre el mismo. Por ejemplo, si enunciamos el objetivo “Aplicar el teorema de Pitágoras”, podemos tener la intención de que los estudiantes resuelvan problemas de cálculo de distancias inaccesibles en cuya modelización aparecen triángulos rectángulos, o bien de que construyan ángulos rectos con cuerdas de nudos. Si ahora indicamos que el objetivo es para estu-diantes de 13 años, estamos aportando como información adicional que nos referimos a la se-gunda opción. En resumen, la redacción de un objetivo, acompañada del nivel educativo al que va dirigido, concreta a un espacio temporal delimitado y breve las expectativas de aprendizaje deseables en ese periodo. Los estándares de un conjunto de grados tienen, en general, un nivel mayor de generalidad, por lo que no pueden considerarse objetivos, pero sirven de orientación para enunciar éstos, que deben ser más concretos y vinculados al requisito de temporalidad que requiera la programación. Por ejemplo, el estándar siguiente, de grados 4º y 5º, asociado a pen-samiento espacial ysistemas geométricos, “Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados) y propiedades”,nos ha servido de orientación para re-dactar los objetivos siguientes, que forman parte de la programación de una unidad didáctica so-bre el tema Poliedrosen el nivel de 13 años:
  8. Apuntes módulo 38♦Distinguir los poliedros regulares.♦Reconocer las propiedades más significativas de los poliedros regulares en relación con la simetría.Tipos de PensamientoLos estándares se distribuyen según 5 tipos de pensamiento matemático que, en su misma deno-minación, se asocian a grandes áreas de contenido matemático:♦pensamiento numérico y sistemas numéricos,♦pensamiento espacial y sistemas geométricos,♦pensamiento métrico y sistemas métricos o de medidas,♦pensamiento aleatorio y sistemas de datos y♦pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticosLa intención explícita de describir tipos de pensamiento es integrar en un todo las distintas ramas tradicionales del conocimiento matemático escolar (aritmética, geometría, álgebra, cálculo, pro-babilidad y estadística). Sin embargo, los enunciados de los estándares están redactados con dis-tintos niveles de generalidad desde el punto de vista de los contenidos. Por ejemplo, los dos es-tándares siguientes permiten identificar dominios acotados de contenido, pero mientras el primer caso se refiere a un ámbito muy restringido (fracciones), en el segundo se apela a un dominio de gran amplitud (representaciones geométricas en matemáticas y otras disciplinas):♦“Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte-todo, cociente, razones y proporciones” (p. 82) y♦“Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáti-cas y en otras disciplinas” (p. 86).El estándar sobre fracciones podría considerarse, directamente, el enunciado de un objetivo; pero el estándar sobre representaciones geométricas deberíaconcretarse más si queremos que sea útil a la planificaciónque pretendemos. Por ejemplo, si estamos preparando un tema sobre trigono-metría, un objetivo relacionado con este estándar podría enunciarse como “Obtener triangulacio-nes planas a partir de situaciones geográficas espaciales y determinar posiciones de puntos, me-didas de distancias o áreas de terrenos utilizando las razones trigonométricas”.El ejemplo que hemos mostrado en el apartado anterior sobre objetos tridimensionales tam-bién tiene un elevado grado de generalidad.Los dos objetivos que hemos enunciado inspirándo-los en él constituyen una concreción del mismo a los poliedros regulares y a la simetríapara alumnos de 13 años. Así pues, dependiendo del nivel de generalidad con que esté redactado un estándar, podremos usarlo como objetivo o, por el contrario, tendremos que concretarlomás.Procesos generalesLos estándares incluyen en su redacción referencias a los procesos generales. Con ello, captan la idea de que el aprendizaje de los estudiantes no se reduzca a reproducir procedimientos rutinarios sobre contenidos matemáticos sino que debe incluirlas actividades mentales genuinas propias del pensamiento matemático. Además, como hemos indicado en el párrafo anterior, relaciona estos procesos con las áreas de contenido tradicionales. Con ello, el estándar describe un nivel de
  9. Apuntes módulo 39expectativas de aprendizaje más concreto que la idea de competencia, más cercano al contenido. La noción de objetivo que nosotros hemos planteado busca también un plano de concreción in-termedio entre la idea de competencia y el tercer nivel, mucho más concreto, de capacidades que describiremos en la sección siguiente. En ese sentido, comparte con el estándar la intención de hacer referencia a procesos complejos y de vincular éstos a los contenidos matemáticos. Por ello, los consideramos como referentes para el enunciado de objetivos también desde el punto de vista de los procesos, aunque es posible que necesiten alguna reformulación para ser útiles a la planifi-cación para el aula. Por ejemplo, desde el punto de vista de los procesos, interpretamos que el estándar siguiente hace referencia fundamentalmente al proceso sobre argumentación —siendo el dominio muy amplio, desde el punto de vista de los contenidos,ya que afecta a todas las unida-des de medida estandarizadas—.♦“Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones to-madas de distintas ciencias” (p.87).Nos hemos inspirado en este estándar para redactar el objetivo siguiente, que formaría parte de una unidad didáctica sobre Áreapara alumnos de 16 años:♦Saber deducir las fórmulas de área de los polígonos habituales (triángulo, rectángulo, tra-pecio, polígonos regulares) y explicarla dependencia de la fórmula de la unidad de medi-da utilizada.En este objetivo el proceso sobre argumentación se concreta en la deducción de fórmulas y en la comprensión de la influencia de la unidad de medida de superficie.Utilidad del conocimientoPor último, la noción de estándar trata de captar el requisito de que el conocimiento sea útil a la resolución de problemas del entorno del estudiante. Este requisito de utilidad se pone de mani-fiesto de forma especialmente relevante en el procesosobre formulación, planteamiento y reso-lución de problemas de la vida cotidiana. Por otro lado, desde el punto de vista del objetivo, es un referente importante a la hora de seleccionar tareas asociadas a un objetivo ya que, del abani-co posible de tareas, serían más adecuadas aquellas que involucran situaciones reales cercanas al entorno del estudiante.Estándares como fuente de inspiración para la redacción de objetivosEn resumen, consideramos que los estándares de competencia son una fuente de inspiración im-portante para la redacción de los objetivos de un tema matemático. Hemos argumentado que un estándar capta las actividades mentales genuinas propias del pensamiento matemático;está aso-ciado a un nivel educativo;hace referencia al contenido matemático;y orienta la búsqueda de aplicaciones del conocimiento. Pero,para enunciar objetivosútiles al tipo de planificación para el aula que requiere el profesor, se requiere un nivel de concreción mayor que el de los estánda-res sobre cada uno de estos aspectos .Por último queremos señalar que, aunque en esta sección hemos analizado las relaciones en-tre objetivos, estándares y procesos, la idea de estándar conlleva la preocupación por establecer unos requisitos de calidad mínimos que todos los alumnos deben alcanzar, es decir, unos referen-
  10. Apuntes módulo 310tes para la evaluación2. Por ello, los estándares también serán referentes destacados en el módulo de análisis de actuación, donde se profundiza en la evaluación.1.4CapacidadesEl siguiente nivel de expectativas de aprendizaje que vamos a introducir es el que se asocia de forma más concreta a las actuaciones de los estudiantes cuando ejecutan los procedimientos ruti-narios básicos del tema matemático. Tratan de captar las expectativas de aprendizaje de más bajo nivel cognitivo. Así, definimos una capacidadcomo una expectativa del profesor sobre la actua-ción de un estudiante con respecto a cierto tipo de tarea de tiporutinario asociada a un tema ma-temático. Las capacidades se manifiestan mediante conductas observables de los estudiantes, por lo cual es importante que estén enunciadas de forma que quede clara cuál es la información de partida y cuál es la información que se genera al poner en juego la capacidad.En este nivel estamos introduciendo la idea de procedimientorutinariocomo elemento cen-tral en la descripción de la capacidad. El calificativo de rutinario para un procedimientodepende del nivel cognitivo de los estudiantes para los que se vaya a realizar la planificación. Por ejem-plo, el procedimiento paracalcular el máximo o el mínimo de una función cuadrática es rutinariosi los estudiantes ya conocen las aplicaciones de la derivada (a los 17 años), pero nolo es,si es-tán aprendiendo de forma intuitiva nociones de crecimiento y decrecimiento de funciones (a los 14 años). Por tanto, a los 17 años,podríamos decir que calcular el máximo o el mínimo de una función cuadrática es una capacidad, pero a los 14 años tendríamos que enunciar varias capaci-dadesasociadas a ese procedimiento: por ejemplo, elaborar una tabla de valores numéricos a par-tir de la expresión simbólica de la función; representar gráficamente una tabla de valores; e in-terpretar gráficamente losmáximos y mínimos.Unos párrafos más adelante retomaremos esta idea.Aunque una misma capacidad podría corresponder a varios objetivos distintos, para obtener la lista de capacidades de un tema suele ser útil fijar un objetivo y pensar en los procedimientos rutinarios que el estudiante necesita saber hacer como condición necesaria para poder decir que ha desarrollado dicho objetivo. Por ello, hablaremos de las capacidades asociadas a un objetivo. Además, al involucrar procedimientos rutinarios, el conocimiento procedimental que se identifi-ca al realizar el análisis de contenido es una fuente de información de primer orden para determi-nar las capacidades asociadas a un objetivo.La figura 1 muestra un esquema del análisis de contenido correspondiente al objetivo 1 so-bre la función cuadrática. En esta figura aparecen representados los procedimientos que trans-forman cada una de las formas simbólicas de la función cuadrática en otras, el significado gráfico de los parámetros de cada una de dichas formas simbólicas y las transformaciones que sufre la representación gráfica de la función cuadrática al variar esos parámetros.2“Un estándar es un criterioclaro y público que permite juzgar siun estudiante, una institución o el sis-tema educativo en su conjunto cumplencon unas expectativascomunes de calidad”. (énfasis nuestro) (MEN, 2006, p. 11)
  11. Apuntes módulo 311Figura 1.Procedimientos que relacionan las distintas formas de representar la función cuadráticaA partir de esta información, que surge del análisis de contenido,hemos obtenido la tabla 2 si-guiente, que contiene una lista de 16 capacidades asociadas al objetivo 1 anterior sobre la fun-ción cuadrática (Gómez, 2007).Tabla 2Listado de capacidades asociadas al objetivo 1 sobre la función cuadráticaCodCapacidadEjecutar, comunicar y justificar los procedimientos de (transformaciones simbólicas):C1completación de cuadradosC2ExpansiónC3FactorizaciónIdentificar, mostrar y justificar los parámetros de laC4forma canónica (a, h, k)C5forma foco (p, h, k)C6forma estándar (a, b, c)C7forma multiplicativa (a, r1, r2)f (x) = (x - 4)2 - 2f (x) = (x - 2) (x - 6)f (x) = x2 - 8x + 14FactorizaciónExpansiónTraslación horizontalf (x) = x2
  12. Apuntes módulo 312Identificar, mostrar y justificar los siguientes elementos gráficosC8coordenadas del vérticeC9puntos de corte con el eje YC10puntos de corte con el eje XC11coordenadas del focoC12ubicación de la directrizC13ubicación del eje de simetríaEjecutar, comunicar y justificar los procedimientos de (transformaciones gráficas):C14Translación horizontalC15Translación verticalC16DilataciónNóteseque el propio enunciado de cada capacidad podría usarse como enunciado de una tarea rutinaria propuesta al alumno. Así, por ejemplo, un alumno ha desarrollado la capacidad C1 cuando saber resolver una tarea como la siguiente:Expresa la función f (x)= x2+12 x +10 en forma canónica.Las capacidades expresanlos procedimientosrutinariosque forman parte del desarrollo de los objetivos. Pero no podemos concretar, de forma precisa y con carácter general, cuál es la frontera entre lo rutinario y lo no rutinario. Esto nos lleva a preguntamos cuál es el nivel de detalle reque-rido para redactar las capacidades de un tema. Ya hemos dicho que es el nivel cognitivo de los estudiantes para los que estamos haciendo la planificación el que puede ayudarnos a determinar ese nivel de detalle. Por tanto, previamente a la redacción de capacidades de un tema, es impor-tante establecer cuáles son los conocimientos previos de dichos estudiantes. Esto nos permite de-limitar el punto de partida de lo que consideramos rutinario paraestos estudiantes. Un segundo problema, relacionado con el anterior, que surge al describir las capacidades de un tema es decidir hasta donde llegar.Por ejemplo, si redactamos como capacidad “elaborar una tabla de valores numéricos a partir de la expresión simbólica de la función”, nos preguntamos si también es necesario redactar “sustituir valores numéricos en una expresión simbólica” y, si se-guimos remontando, llegamos a preguntarnos si también es necesario redactar “calcular el cua-drado de un número”. Con carácter general, podemos decir que no es necesario redactar capaci-dades que expresen procedimientos excesivamente alejados del tema matemático analizado por su transversalidad o por ser suficientemente conocidos por los estudiantes. Recordemos que las capacidades deben recordarnos a una tarea de tipo rutinario que tenga sentido en el tema mate-mático analizado. Retomando elejemplo anterior, “elaborar una tabla de valores numéricos a partir de la expresión simbólica de la función” sí sería una capacidad por tener sentido como ta-rea rutinaria en el tema de la función cuadrática, pero no serían capacidades del tema “sustituir valores numéricos en una expresión simbólica” ni “calcular el cuadrado de un número”. Ambas
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