Maxwell-Verteilung

Dieser Stoff wurde am 21. 05. 2007 behandelt

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In diesem Abschnitt wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine bestimmte Geschwindigkeit berechnen. Der Begriff Geschwindigkeit hier ist nicht präzise. Er könnte

• die Geschwindigkeitskomponente $v_x$ in $x$-Richtung,
• den Betrag der Geschwindigkeit $v = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$
• das Geschwindigkeitsquadrat $v^2 = \vec{v}\cdot\vec{v}$

meinen. Je nach gewählter Grösse müssen wir die Geschwindigkeiten anders gewichten. Bei klassischer (nicht- quantenmechanischer) Betrachtungsweise folgt die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(v)$ aus der Boltzmannverteilung, wobei die Energie die kinetische Energie ist.

$$f\left( v\right) dv=C\;\exp\left[{-\frac{\frac{1}{2}m\;v^{2}}{kT}}\right]dv$$ (4.327)

$C$ ist ein Normierungsfaktor, der so gewählt werden muss, dass das Integral von $f(v)$ über den ganzen Geschwindigkeitsraum gleich eins ist. Wir betrachten hier den Betrag der Geschwindigkeit, so dass Richtungen beim Mitteln keinen Einfluss haben dürfen.

Je nach der Dimension des Raumes gibt es verschiedene Mittelungsarten:

1 Dimension

Bei der Betrachtung am Anfang haben wir (implizit den eindimensionalen Fall betrachtet.

2 Dimensionen

Hier müssen wir die Mittelung unabhängig vom Azimut durchführen

Berechnung der Anzahl Vektoren in einem Geschwindigkeitsintervall

Die Anzahl Vektoren mit $v_{0}<\left\vert v\right\vert <v_{0}+dv$ ist proportional zu $2\pi v\; dv$

3 Dimensionen

Hier ist die Anzahl proportional zu $4\pi v^{2}dv$.

Die folgenden Betrachtungen sind alle für drei Dimensionen. Die Betrachtung der Anzahl möglicher Realisierungen der Geschwindigkeit $v$ zeigt, dass damit das Maximum der Boltzmannverteilung bei $E=\frac{1}{2}mv^{2}=0$ zur Position $v>0$ verschoben wird.

Wir verwenden nun den Vorfaktor $C'$ und erhalten, mit der Integration über die Winkel

$$f\left( v\right) dv=C'\;4\pi v^{2}\;\exp\left[{-\frac{\frac{1}{2}m\;v^{2}}{kT}}\right]dv$$ (4.328)

$f(v)$ ist normiert, wenn

$$\int f\left( v\right) dv=1$$ (4.329)

ist. Mit der Abkürzung

$$A=\frac{m}{2kT}$$

bekommen wir

$$\int\limits_{0}^{\infty }f\left( v\right) dv=1=C'4\pi \int\limits_{0}^{\infty }v^{2}e^{-Av^{2}}dv$$ (4.330)

Die mathematische Beziehung

$$\frac{d}{da}\int\limits_{0}^{\infty }e^{-a\xi ^{2}}d\xi =-\int\limits_{0}^{\infty }\xi ^{2}e^{-a\xi ^{2}}d\xi$$

hilft, das Integral zu lösen. Wir verwenden weiter Gleichung (E.3) ( $\int_{0}^{\infty }e^{-Av^{2}}dv = \sqrt{\pi/(4A}$) aus dem Anhang E.3. Wir können wie folgt umrechnen

$$1 =C'\cdot 4\pi \cdot \left( -\frac{d}{dA}\int\limits_{0}^{\infty }e^{-Av^{2}}dv\right)$$

$$=C'4\pi \cdot \left( -\frac{d}{dA}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{A}} \right) =C'\cdot 4\pi \cdot \frac{1}{4}\frac{\sqrt{\pi }}{A^{\frac{3 }{2}}}$$ (4.331)

Damit wird der Vorfaktor

$$C'=\left( \frac{A}{\pi }\right) ^{\frac{3}{2}}$$

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung lautet also

$$f\left( v\right) dv = 4\pi \cdot \left( \frac{m}{2\pi kT}\right) ^{\frac{3}{ 2}}v^{2}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}dv$$

$$= \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{- \frac{mv^{2}}{2kT}}dv$$ (4.332)

Maxwell-Boltzmann-Verteilung für Wasserstoff $H_2$

Mittelwerte einer Grösse $g(v)$ bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsdichte $f(v)$ werden durch

$$\left<g\right> = \frac{\int g(v)\; f(v)\; dv}{\int f(v)\; dv}$$

berechnet.

Mit dieser Gleichung berechnen wir nun

Lineare Geschwindigkeiten wie $v_x$

$$\left<v_{x}\right>=\int\limits_{-\infty}^{\infty}v_x\; f(v)dv = 0$$ (4.333)

da $v_x$ eine ungerade Funktion ist und in $f(v)$ nur die gerade Funktion $v^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2$ vorkommt.

Geschwindigkeitsquadrat $v^2$

Mit der Abkürzung $A= \frac{m}{2kT}$ bekommen wir

$$\left<v^{2}\right> =\int v^{2}f\left( v\right) dv = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{ kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\int\limits_{0}^{\infty }v^{4}e^{-Av^{2}}dv$$

$$=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{ kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\;\frac{d^2}{dA^2}\int\limits_{0}^{\infty }e^{-Av^{2}}dv = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\frac{d^{2} }{dA^{2}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{A}}\right)$$

$$=\sqrt{\frac{2}{\pi } }\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\... ...rac{1}{2}\cdot \frac{1 }{2}\cdot \frac{3}{2}\frac{\sqrt{\pi }}{A^{\frac{5}{2}}} = 3\frac{kT}{m}$$ (4.334)

d.h. $\left<E_{kin}\right>=\frac{1}{2}m\left<v^2\right>=\frac{3}{2}kT$ folgt aus Maxwell-Boltzmannverteilung unter der Berücksichtigung des Phasenraumes.

Geschwindigkeitsbetrag $v$

(Siehe Bronštein-Semendjajew [BSMM00] und Gleichung (E.4) im Anhang E.4)

$$\left<v\right> =\int\limits_{0}^{\infty }vf\left( v\right) dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$$ (4.335)

Welches ist die häufigste Geschwindigkeit $v_{\max }$? Die häufigste Geschwindigkeit bei einer nicht-konstanten Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht die mittlere Geschwindigkeit. Wir finden $v_{\max }$ durch Ableiten

$$\frac{df\left( v\right) }{dv}=0$$

Unter Vernachlässigung konstanter Vorfaktoren bekommen wir

$$0 = 2ve^{-\frac{mv^{2}}{2kT} }\;-\;v^{2}\cdot \frac{2mv}{2kT}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}$$

Also ist

$$2v-m\frac{v^{3}}{kT}=0$$

Das Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung liegt also bei

$$v_{\max }=\sqrt{\frac{2kT}{m} }$$ (4.336)

Wenn wir die zu $v_{\max }$ gehörige kinetische Energie berechnen, erhalten wir

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m\frac{2kT}{m} = kT$$

Dies ist das Resultat der naiven Mittelung zu Beginn des Kapitels über die Wärmelehre.

Schliesslich betrachten wir die asymptotische Entwicklung von $f(v)$ für $v \rightarrow 0$ und $v \rightarrow \infty$.

Für kleine $v$ lautet die Taylorentwicklung von $f(v)$ um $v=0$

$$f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}v^{2} + O(v^4)$$ (4.337)

Die Notation $O(v^4)$ bedeutet, dass der erste nicht verschwindende weitere Summand von der Ordnung $v^4$ ist. Höhere Ordnungen können vorkommen.

Der Anteil der Teilchen mit kinetischen Energien im Intervall $\left[E_0\text{,} \infty\right)$ im Vergleich zu allen Teilchen (Intervall $\left[0\text{,} \infty\right)$) ist

$$\frac{\int\limits_{E_{0}}^{\infty }f\left( E\right) dE}{\int\limi... ... E\right) dE}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sqrt{\frac{E_{0}}{kT}}e^{-\frac{E_{0}}{kT}}$$ (4.338)