LP Georg-August-Universität Göttingen

Übungsaufgabe: Barometrische Höhenformel

Übungsaufgabe: Barometrische Höhenformel

Aufgabe (a)
Wir betrachten ein ideales Gas in einem Zyliner der Querschnittsfläche A. In der Höhe h greifen wir eine Schicht der Dicke {\rm d}h heraus.
Drücken Sie den Beitrag zum Druck, den diese Schicht aufgrund der Fallbeschleunigung g leistet, über die (Anzahl-)Dichte \rho des Gases an dieser Stelle und die Masse m der Gasmoleküle aus.
Lösung.
Die Anzahl der Moleküle in der Schicht ist \rho{}A{\rm d}h, ihre Masse also m\rho{}A{\rm d}h. Die zugehörige Gewichtskraft ist mg\rho{}A{\rm d}h. Um den Beitrag zum Druck zu erhalten, teilen wir noch durch die Fläche A und erhalten mg\rho{\rm d}h.
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Aufgabe (b)
Wenn wir p(h) für den Druck in der Höhe h schreiben, dann ist nach dem vorigen Aufgabenteil also
p(h+{\rm d}h)=p(h)-mg\rho{\rm d}h
Schreiben Sie dies als eine Gleichung für p'(h).
Hinweis.
Bringen Sie die Gleichung auf eine Form, in der der Limes {\rm d}h\rightarrow{}0 die Ableitung von p nach h produziert. (Differenzenquotient)
Hinweis anzeigen

Lösung.
Aus der Gleichung folgt
\frac{p(h+{\rm d}h)-p(h)}{{\rm d}h}=-mg\rho
Für {\rm d}h\rightarrow{}0 wird aus dem Differenzenquotienten auf der linken Seite die Ableitung
p'(z)=-mg\rho
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Aufgabe (c)
Setzen Sie die ideale Gasgleichung
\rho=\frac{p}{k_{\rm B}T}
ein und lösen Sie die entstehende Differentialgleichung.
Und nun ein Klassiker: Wie können Sie bei Kenntnis der Temperatur T mit einem Barometer die Höhe h bestimmen?
Lösung.
Durch Einsetzen erhalten wir zunächst die Differentialgleichung
p'(h)=-\frac{mg}{k_{\rm B}T}p(h)
die durch
p(h)=p_0{\rm e}^{-\frac{mgh}{k_{\rm B}T}}
mit p(0)=p_0 gelöst wird.
Die Höhe h ist damit
h=\frac{k_{\rm B}T}{mg}\ln\frac{p_0}{p}
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