Übungsaufgabe: Barometrische Höhenformel
Aufgabe (a)
Wir betrachten ein ideales Gas in einem Zyliner der Querschnittsfläche . In der Höhe greifen wir eine Schicht der Dicke heraus.
Drücken Sie den Beitrag zum Druck, den diese Schicht aufgrund der Fallbeschleunigung leistet, über die (Anzahl-)Dichte des Gases an dieser Stelle und die Masse der Gasmoleküle aus.
Lösung.
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Die Anzahl der Moleküle in der Schicht ist , ihre Masse also . Die zugehörige Gewichtskraft ist . Um den Beitrag zum Druck zu erhalten, teilen wir noch durch die Fläche und erhalten .
Aufgabe (b)
Wenn wir für den Druck in der Höhe schreiben, dann ist nach dem vorigen Aufgabenteil also
Schreiben Sie dies als eine Gleichung für .
Hinweis.
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Bringen Sie die Gleichung auf eine Form, in der der Limes die Ableitung von nach produziert. (Differenzenquotient)
Lösung.
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Aus der Gleichung folgt
Für wird aus dem Differenzenquotienten auf der linken Seite die Ableitung
Aufgabe (c)
Setzen Sie die ideale Gasgleichung
ein und lösen Sie die entstehende Differentialgleichung.
Und nun ein Klassiker: Wie können Sie bei Kenntnis der Temperatur mit einem Barometer die Höhe bestimmen?
Lösung.
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Durch Einsetzen erhalten wir zunächst die Differentialgleichung
die durch
mit gelöst wird.
Die Höhe ist damit