みしょのねこごや

日記

11月1日：起きて学校行って勉強して帰って風呂に入って寝ました。

11月2日：起きて学校行って勉強して帰って風呂に入って寝ました。

11月3日：起きて学校行って勉強して帰って風呂に入って寝ました。

日記

朝起きて学校へ行って，SUSYをちょっと勉強しました。Coffeeの美味しい季節になりました。 それから計算量理論の講義に出て，SUSYの計算をしながらNP完全祭。Graph理論は勉強するつもり無いんだけど，Feynman graphを取り扱う気になったらやらなきゃいけないのかなぁ……。まぁそれまではいいや。 そんで歯医者に行って，無駄に体力を消耗するなどした。疲れたので，Märchenの講義を受けたあとそのまま帰宅して寝た。

「麻生内閣や小沢民主のより，はるかに強力に日本経済を立て直すと思われる政策を，中学生でも分かるように解説してみる」に圧倒的勢いで反論してみる。

麻生内閣や小沢民主のより，はるかに強力に日本経済を立て直すと思われる政策を，中学生でも分かるように解説してみるという記事があまりにひどかったので，反論してみることにします。

この記事は，次の４つの章に分かれています。

4つではありません。前書きもあわせて5つです。

これらを，経済の専門用語を極力使わずに，中学生でも分かるように書いてみました。

間違っています。中学生には理解できません。

理解に差し支えない範囲では使ってますが

というか理解に差し支えない範囲が無いのですが。

この政策により，日本の景気は強力に下支えされる可能性があります。

可能性しかありません。

再来しようとしている就職氷河期も，「氷河期」というほど酷いものではなくなるかもしれません。

かもしれないでは鴨が困ります。

「日銀がお札を印刷しまくって，それで国債を買いまくる。」

お札を印刷するのは財務省です。

銀行，郵貯，生命保険会社，個人などが持っている国債を，１００兆円でも２００兆円でも，日銀が怒濤のように買いまくったとします。

僕は国債持ってません。だれか贈って下さい。

ただし，GDPデフレータで２％のインフレ率とか，あらかじめ決めておいた目標に達するまで

その指標が出るまでの時間ががら空きです。

飽きたのでこの辺で。

日記

「箸を使えばいい！」ということを知った一日。研究室に大量のお菓子を配備した。

世界の果て

最近はずっと世界の果てにいるので世の中のことにあまり気を配ってなかったのだけど，小室哲哉のアレはなかなか壮絶だわね。

特にKEIKOさんは，僕の出身地の隣の市出身ということもあって，小室氏の近況を伝える報道を聞くたびに心配になっていたのだけれど，先週末に離婚したとか何とか。

人生，波瀾万丈すぐる。

ってことで風邪引いた。

すごい本を買った。

今日はid:syou6162主催のTsukuba.R#3に参加してきて，華麗なるchaosを巻き起こすなどした。

それについてのまとめを書こうと思ったのだが，もっと大事なことを書かねばならなくなった。

日本語が亡びるときという，とても重要な本を買ったのだ。

以下，僕がこの本の感想として書いた文を，自己引用する。「大事なことなので2箇所に書きました」というアレである。

この本を何処に分類するか，だいぶ迷ったのだけれど，敢えて「語学系」の所に分類することにした。

この本は全体を通して非常に重要なことを述べている筈である。しかし残念ながら，僕はSCIENTIAE NATVRALESの世界に生きている故，語られていることを十分に咀嚼出来ていない。僕の言語或いは文字に対する，幾分特徴的な価値観と主義は力不足であった。

この「小説」に書かれてあることを理解出来る人は，もしかしたらもう其程多くは無いのかも知れない。であるから逆に重要と成り得るのだろうが。

僕が小学生だった時，図書室にある本は，6年間で殆ど読んだ。本当に「殆ど」と言って良い程，嘗め回すように読んだ。総記，哲学，歴史，社会科学，自然科学，工芸，産業，芸術，語学。分類・書架の位置・どんな本があったか，まで，大体記憶している。ただ，900番台……「文学」の棚の本だけは，1冊も読んだ記憶がない。実際には数冊目を通したのかも知れないが，全く記憶にない。それ以外の本を殆ど覚えているにも関わらず。

もう1つは，『百人一首』と云うものが非常に魅力的であることだ。僕はどの日本文学よりも，あの高々10KBの，百人一首の三千数文字の方が好きだ。「あしびきの」から伝わる不安，「天の原」に見る望の気持ち，「これやこの」での無常観。「今はただ」「逢ひ見ての」なんて，マジで鳥肌が立つし，「かくとだに」なんて“誰うま”の神髄である。

結局の所，そういうことなのだろう。

しかし繰り返すが，僕にはこの本はちっとも理解出来なかった。とても重要なことを言っているはずなので，是非とも読んでほしい。（必要ならば貸すよ！）そして，この本に本当に書いてあることを是非とも教えて欲しい。

ぱねぇ。

まじぱねぇ。

松坂和夫『集合・位相入門』（第4章）

10月25日の続き。第4章『位相空間』。いよいよ後半戦。

これまでは単に教科書への註釈を載せてきただけだったが，位相空間の辺りから難しくなって頭が混乱してきたので，まず初めに，第4章の内容をまとめることにする。

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位相構造を定義する方法

集合 \(S\) に位相構造を定義する方法はいくつかある。

• 開集合系 \({\mathcal O}\) … 「開集合系の三条件」(P.152)を満たす集合系。
• 閉集合系 \({\mathcal U}\) … 「閉集合系の三条件」(P.157)を満たす集合系。
• 全近傍系 \(\mathbf V(x)\) … 「近傍系の四条件」(P.161)を満たす集合系。
• 開核作用子 … 「開核作用子の四条件」(P.154)を満たす写像。
• 閉包作用子 … 「閉包作用子の四条件」(P.158)を満たす写像。

或いは

• 基底 … 任意の集合系を与え，そこから「三条件」に従うように（定理14のようにして）開集合系を生成する。
• 基本近傍系 … 各点 \(x\) を含む集合を任意の \(x\) に対して与え，そこからそれを含む元として全近傍系を生成する。

によっても位相構造は定まる。

これらの間の関係

開集合系⇔閉集合系

閉集合は開集合の補集合である。

開核作用子→開集合系

値域として開集合系を与える。一意性と無撞着性（この開集合系の下での開核作用子になっていること）に注意！

開集合系→開核作用子

開集合系からP.154の三条件により「開核」を特徴付けて，各部分集合に対して開核を返すような写像を構築すればよい。

閉集合系⇔閉包作用子

同様。

開核作用子→全近傍系

\(x\in V^\circ\Leftrightarrow V\in\mathbf V(x)\) により \(\mathbf V(x)\) が特徴付けられる。

全近傍系→開集合系

条件 \(x\in O \Rightarrow O\in \mathbf V(x)\) を満たす集合（および \(\emptyset\) ）として開集合系が特徴付けられる。一意性と無撞着性に注意！

その他の諸概念

• 基底 … 全ての開集合(given)が，基底の適当な和集合として表される。
• 準基底 … 準基底から生成される位相が，位相(given)と一致している。
• 第1可算公理 … 各点 \(x\) に対し，高々可算である基本近傍系が存在する。
• 第2可算公理 … 高々可算であるような基底が存在する。このとき第1可算公理は満たされ，位相空間は可分となる。
• 稠密 … 集合が稠密であるとは，閉包が台集合そのものである，或いは任意の空でない開集合と重なるということ。
• 可分 … 位相空間が可分であるとは，高々可算な稠密部分集合が存在すると言うこと。

様々な空間への位相の誘導

位相空間 \((S',{\mathcal O}')\) から，写像により，写像が連続写像になるように位相を引き戻し， \(S\) に位相を与えることが出来る。

同様に，位相空間族と写像族から，一気に元の集合に向けて位相を引き戻してやることもできる。

• 部分位相空間（相対位相） … 部分集合からの標準的単射により，部分集合に向けて位相を引き戻す。
• 直積位相空間（直積位相） … 直積空間から各成分への射影により，直積空間に向けて（成分の空間から）位相を引き戻す。

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さて，ではいつものように教科書へのみしょの註釈を載せていきます。

§4.1： \({\mathbb R}^n\) の距離と位相

P.141

interior / exterior / frontier

P.143

interior / adherence

P.145 定理2(ii)

有限個だぜ！！

P.146 注意1

任意個数の開集合の共通部分は必ずしも開集合ではない。（中略）同様に，任意個数の閉集合の和集合は必ずしも閉集合ではない。

P.146

OR(OPEN)=OPEN, AND(CLOSED)=CLOSED

P.148 定理4

\({\mathbb R}^n\) では， \(\emptyset\) 以外の開集合は球体の和集合！

P.150 定理5

\({\mathbb R}^n\) 上の開集合 \(A\) について， \(f:A\to{\mathbb R}^m\) が連続 \(\Longleftrightarrow\) \(\forall O'\subset{\mathbb R}^m, f^{-1}(O')\) が開集合

§4.2：位相空間

P.152

位相構造が即ち開集合系を定める。

P.153 例1 c) 3つの元からなる集合の位相

6本の枝を，選ばれていない枝の両側が選ばれている，ということの無いように選ぶ選び方。0本→1, 1本→6, 2本→隣6対面3, 3本→6, 4本→6, 6本→1。

P.153 下段

密着位相，離散位相

P.154 (2.1)(2.2)(2.3)

開核の定義。

P.154 定理6

開核作用子は位相構造を与える。

P.158

Interior(AND)=AND(Interior)，Adherence(OR)=OR(Adherence)

P.159 脚注

Куратовский

P.160

\(M\) の集積点は明らかに \(M\) の触点→ \(M\supset M-\{x\}\) ゆえ \(\bar M\supset\bar{M-\{x\}}\)

\(x\in M\) のとき， \(x\) が \(M\) の集積点でないことがある。

\(x\not\in M\) のとき， \(x\) が \(M\) の集積点⇔ \(x\) が \(M\) の触点

P.161

\(V\) が \(x\) の近傍⇔ \(x\) が \(V\) の内点

P.161 定理10 (V-iv)

\(W=V^\circ\)

P.163 L.3

→ \(\mathbf V\) に対して位相が唯一つ定まる。

P.163 中段

形式的に考えるのがよい。

§4.3：位相の比較，位相の生成

P.167

束：順序集合 \((A,\le)\) で， \(\forall a,b\in A\) に対し \(\{a,b\}\subset A\) が \(A\) の中に上限と下限を持つもの。

完備束：順序集合 \((A,\le)\) で， \(\forall S\subset A\) が \(A\) の中に上限と下限を持つもの。

P.167 _L_7

\({\mathcal M}\) を含むような \(S\) における位相全部の集合には下限が存在する。（それは \({\mathcal O}\supset{\mathcal M}\) であるような位相すべての共通部分である。

P.168 脚注

ほう!! \(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}M_\lambda=S\) か！（… \(A\Leftrightarrow B\) は \(A\) が偽なら真）

P.168

\({\mathcal B}\) が \({\mathcal O}\) の基底，とは， \({\mathcal B}\subset{\mathcal O}\) かつ \(\forall A\in{\mathcal O}, \exists\beta\in{\mathcal B} \text{s.t.} \bigcup_{K\in\beta}K=A\) と書けること。（位相の公理iiiに注意）

P.170 定理15（証明）

(1) \({\mathcal B}\) が \({\mathcal O}\) の基底とは \({\mathcal B}\subset{\mathcal O}\) かつ \(\forall A\in{\mathcal O}, \exists\beta\in{\mathcal B} \text{s.t.} \bigcup_{K\in\beta}K=A\) である。

(2)定理15の条件は， \({\mathcal B}\subset{\mathcal O}\) かつ \(\forall A\in{\mathcal O}, \forall x\in A, \exists W\in{\mathcal B} \text{s.t.} x\in W\land W\in A\) である。

(1)から(2)を導くには， \(W\) として \(\beta\) の元の中で \(x\) を含むものを取ればよい。

(2)から(1)を導くには， \(\beta\) として \(\{W\}\) for \(x\) を取ればよい。

P.171 中段

\({\mathcal B}'\) あるいは \({\mathcal B}'_1\) は明らかに可算の濃度をもつから，位相空間 \({\mathbb R}^n\) は第2可算公理を満足する。

§4.4：連続写像

P.177

写像の連続性は，準基底について調べれば十分。

P.181 注意

すげぇ！！

P.183 _L_8

全単射で（中略） \(f\) および \(f^{-1}\) がともに連続

§4.5：部分空間，直積空間

P.186

\((S',{\mathcal O}')\) から \(f\) により元の集合に対し引き戻した位相を与える。

P.188 L.7

明らかに…なぜならば， \(S\in{\mathcal O}_\lambda\) で， \(A,B\in{\mathcal O}_\lambda\Longleftrightarrow A\cup B\in{\mathcal O}_\lambda\) 。

P.190 定理25(b)

\(f(S)\subset M'\subset S'\) であるような

国土地理院ぱねぇ

やべぇ……国土地理院ぱねぇ……。

なんか国土地理院のweb siteで，日本の地形図が閲覧できると聞いたので，自分の生まれ育った町を見てみたんですよ！！！

一応これでも自分の生まれた町の中は自転車で縦横無尽に駆け巡ったつもりだったので，町の全てを把握しているつもりだったのですが……。

なんかすごいとこに集落がっ！！！？！？！！？？

これは……みしょの知らない未開の部族の土地か……！？国土地理院ぱねぇ……未開の部族にまで接触してやがる……。

……と思ってたのですが，実は弥生町ではなく本匠村だったようです。いずれにしてもなんかおもしろそうなので，帰省したときに「たんけん」になど行ってみようと思います！！

日記

ちゃんと暗記しているつもりの日本国憲法第9条を忘れてしまったので，記憶するためにここに書き記しておく。ついでに第25条も。

日本国憲法第9条（戦争放棄，交戦権の否認）

日本国民は，正義と秩序を基調とする国際平和を切実に誠実に希求し，国権の発動たる戦争，およびと，この手段としての武力による威嚇又は武力の行使は，国際紛争を解決するための手段としては，永久にこれを放棄する。国の交戦権は，これを認めない。／前項の目的を達するため，陸海空軍その他の戦力はこれを保持しない。国の交戦権は，これを認めない。

同第25条（生存権）

全て国民は，健康で文化的な最低限度の生活を営む権利を有する。

8年前にちゃんと覚えたから今も覚えてるだろう，と思ってたけど，だいぶ忘れてるなぁ……。老化……。

もちろん日本の自衛隊は戦力と言うに十分なものであることだとか国際情勢の変化（特に集団的自衛権の周辺）などを鑑みると，この第9条というのが日本国のあるべき姿を示しているかどうかは難しい問題だろう。僕は現状にそぐわないと考えているが，憲法改正の効力論だとか，基礎法学上の問題だとか色々あるので，この状況を改善すべき（即ち改憲すべき）だとは言えない。

しかし第9条というのは日本国憲法に特徴的なもので，今後の日本のあり方に関する議論の中心となっていくものであるので，覚えておくべきものの1つだろう。

ちなみに日本国憲法前文も暗記しようとしたことがあったけど，結局挫折した。日本国憲法の前文・第1章・第2章・第3章ぐらいはちゃんと理解しておいて損はないと思う。

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とまぁそんなことを考えた1日でした，という訳もなく。

金曜日は一週間の中で一番しんどい日なのです。午前中にperturbative Quantum Color Dynamics（摂動論的量子色力学）のseminarがあり，午後からはnon-perturbative Quantum Field Theory（非摂動論的量子場理論）のseminarがある……。。。。。

今日も9時頃起きて，30分ぐらい暖かい布団の中でもごもごして，大慌てで家を飛び出して学校へ行き，seminarでStermanのdiagramについてみんなで1時間ほど呻き，そんで午後からは午後からでpion場 \(\pi^a(x)\) が写像 \({\mathbb R}^4\to G/H\) であることをすっかり忘れていてひたすら悩み，そんでseminarの教室でばたんきゅ～したあとで夕ご飯を食べて帰宅しました。

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ところで，欧陽修の所謂「三上」というのがある。即ち広辞苑に拠れば文章を練るのに最もよく考えがまとまるという三つの場所。すなわち馬上・枕上・厠上。ということらしいのだけど，どうやらこれはマジみたい。

っていうか，僕の場合は「馬上」というのがかなりcriticalで，（高校時代からそうだったのだけど）悩み続けた問題への解答というのを，学校から帰宅する自転車の上で思いつくことがしばしばあったのだ。

今日も，なんかもうひどく疲れていて眠いので23時頃に帰宅してたんだけど，その帰り道の自転車の上で，午前中にめっちゃ呻いたdiagramの問題の答えが突然右上から降ってきて，でそれをお風呂に入りながらじっくり考えたら，確かにその通りだった。

先週の木曜日にも似たようなことがあったし，やっぱ根詰めて考えた後は気晴らしに自転車に乗るのが良いのかもなぁ。自転車通学ばんざーい。

松坂和夫『集合・位相入門』（第5章）

11月18日の続き。第5章『連結性とCompact性』。

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§5.1：連結性

P.195 _L_8

\(S\) が連結であることは，(1.1)を成り立たせるような2つの開集合（または閉集合） \(O_1\) ， \(O_2\) が存在しないことと同等

P.196 L.6

\(M\subset O_1\cup O_2\) ， \(O_1\cap O_2\cap M=\emptyset\) ， \(O_1\cap M\neq\emptyset\) ， \(O_2\cap M\neq\emptyset\)

P.196 中段

連結な位相空間の連続像はやはり連結である。

P.196 _L_5

明らか → \(f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\)

P.197 中段

もし \(O_i\cap N=\emptyset\) ならば，前章§2，問題4によって \(O_i\cap\bar N=\emptyset\)

P.199 L.2

\(C_x=M\) は連結であるから，定理2によって \(\bar C_x\) も連結である。

P.204 L.6

明らかに → \(f\) は全単射で連続かつ閉写像 → P.183

P.204 _L_7

背理法によって

P.205 L.5

\(B(a,\epsilon)\) → 開球体 … \({\mathbb R}^n\) の基底

P.205 第19図直下

cf. P.174 問題5(a)および6

§5.2：Compact性

P.210 _L_3

\(S\) における

P.210 _L_1

\(S\) における

P.211 定理10

有限個の

P.211 定理11

位相空間 \(S\) がcompactならば，Sの任意の閉集合 \(M\) もcompactである。 → Compactnessは， \(M\) の「任意の」開被覆が有限被覆を含む，であるので，自明ではない。

P.212 定理13

ぱねぇ

P.215 L.3

\(V\in {\mathbf V}(x)\Rightarrow V^\circ\in {\mathbf V}(x)\)

P.215 L.9

→ P.174 5(b)

P.215 _L_2

\(M\) はcompactであるから， \(M\) の適当な有限個の点 \(y_1,\cdots,y_n\) をとって， → 近傍系の公理(iii)の有限性による！！

P.216 中段

連続な全単射が同時に閉写像であれば，それは同相写像である → 連続な全単射 \(f\) について，開・閉・逆も連続（同相）はみな同等。

P.217 L.1

Hausdorffについて，Compact \(\Rightarrow\) 閉集合。Εὐκλείδειαについて，Compact \(\Leftrightarrow\) 有界閉集合。

P.217 _L_9

\(\mathbb R\) の閉区間 \(I=[a,b]\) がcompactである

P.217 _L_1

\(\sup I'=c\) が存在して … \(\mathbb R\) の稠密性そのもの。

P.219 中段

\(S\) （と同相な位相空間）を部分空間として含む

P.220 L.12

\({\mathcal O}_\infty\) … \(S^*-{\mathcal U}_0\)

P.220 中段 位相となることの証明

(Oi)は明らか。(Oii)は \(O_1\) ， \(O_2\) が共に \({\mathcal O}_\infty\) の元なら，P.21 4(b)と定理10。さもなくばたやすい。(Oiii)はP.45の(5.2)を用い，定理11を慎重に用い，更に \(O\in\mathcal O\) に対し \((S^*-O)\cap S\) が閉集合であることより。

P.221 _L_5

→ P.164 4

§5.3：分離公理

P.223

\(\mathrm T_1\) → \(\mathrm T_1\) ／ \(\mathrm T_2\) →Hausdorff ／ \(\mathrm T_1,T_3\) →正則 ／ \(\mathrm T_1,T_4\) →正規

P.225 L.9

\(S\) が \(\mathrm T_1\) 空間であって，

P.227 L.3

これらの条件は前のものよりも‘真に強い’のである。

P.229 定理23の証明

数学的帰納法である。基底がたくさんあると帰納法が使えない。

P.229 _L_8

正規空間

P.230 下段

\(O\) は開集合で， \(f\) はinfで定めるので，直感に一致する定義。

P.231 式(3.8)付近

\(O(r)\) は \(r\) を与える範囲そのものである。ただしfrontierは（ \(\mathbb R\) の稠密性もあり）単純ではない。

P.232 L.3

Urysohnの拡張定理

P.232 L.10

正規空間のある閉集合上で定義された有界な実連続関数は，全空間で定義された有界な実連続関数に拡大できる

さて，残すはあと1章，距離空間！！！