八十七年度大學入學考試中心學科能力測驗試題數學考科

第一部分：選擇題

壹、單一選擇題：

說明：第1至4題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡的「解答欄」，每題答對得5分，答錯不倒扣。

1.當x介於0與2p 之間，直線y＝1－x與函數y＝tanx的圖形，共有幾個交點？

(A) 0，(B) 1，(C) 2，(D) 3，(E) 4

Ans：(D)

2.設1－i為x2＋ax＋3－i＝0的一根，則a的值為何？

(A) －3，(B) －2，(C) －1－i，(D) 2，(E) 3

Ans：(A)

3.設事件A發生的機率為1/2，事件B發生的機率為1/3，若以p表事件A或事件B發生的機率，則p值的範圍為

(A) p£ 1/6，(B) 1/6＜p £1/3，(C) 1/3＜p£1/2，(D) 1/2£ p£ 5/6，(E) p＞5/6

Ans：(D)

4.如右圖，ABCDEF為一正六邊形，下列向量內積中，何者最大？

(A)   (B)   (C)   (D)   (E)

Ans：(B)

貳、多重選擇題：

說明：第5至第10題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡的「解答欄」，每題答對給5分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲2.5分，錯兩個或兩個以上者不給分。

5.已知『偶數的平方是4的倍數；奇數的平方除以4餘數為1』。考慮五個數：513，226，216，154，145。試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為完全平方數：(A) 513，(B) 226，(C) 216，(D) 154，(E) 145

Ans：(A)(C)(E)

6.設不共線的三直線之方程式分別為ax－4y＝1，(a＋1)x＋3y＝2，2－2y＝3，其中a為實數。試問a為何值時，上述三直線會圍出一個直角三角形：

(A) －8，(B) －4，(C) 1，(D) 3，(E) 5

Ans：(A)(B)(D)(E)

7.下列敘述何者為真？

(A)sin50° ＜cos50° ，(B) tan50° ＜cot50° ，(C) tan50° ＜sec50°

(D)sin230° ＜cos230° ，(E) tan230° ＜cot230°

Ans：(C)(D)

8.在空間中，下列那些點可與A(1，2，3)，B(2，5，3)，C(2，6，4)三點構成一個平行四邊形？

(A) (－1，－5，－2)，(B) (1，1，2)，(C) (1，3，4)，(D) (3，7，6)，(E) (3，9，4)

Ans：(B)(C)(D)

9.設a，b均為實數，且二次函數f(x)＝a(x－1)2＋b滿足f(4)＞0，f(5)＜0，試問下列何者為真？

(A) f(0)＞0，(B) f(－1)＞0，(C) f(－2)＞0，(D) f(－3)＞0，(E) f(－4)＞0

Ans：(A)(B)(C)

10.某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間(月)的關係圖為指數函數之圖形，且經過(1，2)，(2，4)，(3，8)，(4，16)四點，試問下列敘述何者為真？

(A)此指數函數的底數為2

(B)在第五個月時，布袋蓮的面積就會超過30m2

(C)布袋蓮從4m2蔓延到12m2，只須1.5個月。

(D)設布袋蓮蔓延到2m2，3m2，6m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3

(E)布袋蓮在第一到第三個月之間的蔓延平均速度等於第二個月到第四個月之間的蔓延速度。

Ans：(A)(B)(D)

第二部分：填空題

說明：

1.第A至H題，將答案標示在答案卡的「解答欄」所標示的列號(13-28)處。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對者，不給分。

3.如果填空題答案要求的是分數時，必須以最簡分數表示。

1.在三位數中，百位數與個位數的差的絕對值為2的數共有________個。

Ans：150

2.設a與b均為實數。若，則2a＋b＝____________。

Ans：9

3.某公司有甲、乙、丙三條生產線，現欲生產三萬個產品。如果甲、乙、丙三條線同時開動，則需10小時；如果只開動乙、丙二條線，則需15小時；如果只開動甲生產線15小時，則需開動丙生產線30小時才能完成所有產品。問如果只開動乙生產線，則需___________小時才能生產三萬個產品。

Ans：20

4.長方體中，互為歪斜線的稜線共有____________對。

Ans：24

5.如右圖中，ABC是邊長為8的正三角形撞球台，線段BP＝，今由P點將一粒球以平行的方向射出，最後又回到P點。球所走的路徑如箭號所示。則此路徑的長度為__________。

Ans：24

6.等比數列<an>中，a1＝1，a4=2－，an+2＝an+1＋an，n³1，則<an>的公比為_____________。

Ans：

7. 如右圖，A，B兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往A點的筆直公路上，距離A點50公尺的C點與距離A點200公尺的D點，分別測得ÐACB＝60° ，ÐADB＝30° ，則A與B的距離為_______公尺。

Ans：50

8. 設f(x)為一多項式。若(x＋1)f(x)除以x2＋x＋1得餘式為5x＋3，則f(x)除以x2＋x＋1得餘式為_____________。

Ans：2x＋5

9.在右圖中，圓O的半徑為6，F點的坐標為(4，0)，Q在圓O上，P為線段的中垂線與線段的交點。當Q在圓O上移動時，動點P的軌跡方程式為____________。

Ans：

10.下表所列為各項主要食品的平均消費價格，以及民國70年維持一家四口所需各項食品的平均需要量。若以拉氏指數來衡量，那麼民國76年主要食品的費用比民國70年高出百分率為_________% 。(小數以下四捨五入)

項 目   70年價格 76年價格 70年平均用量

蓬萊米    7.6      16.0        45.0

豬 肉    49.0      97.0         5.0

虱目魚   36.0      74.0         0.5

包心菜    5.6      15.0         4.0

香 蕉     4.7      13.0         3.0

花生油   25.0      54.0         0.8

 Ans：109