Re: [obm-l] Simplifica��o

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

F�bio Bernardo wrote:

> Simplifique a fra��o:
> (2^31+3^31)/(2^29+3^29)

	Ao inv�s de mexer nesse problema, eu resolvi encarar
uma generaliza��o: simplificar a fra��o

	(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n �mpar.

	Vou provar que a^n+b^n, n �mpar, � divis�vel por a+b,
por indu��o completa.

	Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.

	No caso geral, supondo v�lido at� n-2:

	a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))

	Mas pela hip�tese de indu��o
	(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)k

	Logo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)

	Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fra��o
original no numerador e no denominador, mas algu�m sabe
como mostrar que o que sobra � irredut�vel ? Ou seja,
que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
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